AUC 的两种算法：曲线下面积与「随机一对排对了」的概率

AUC 常被介绍成「ROC 曲线下的面积」，也常被介绍成「随机挑一个正样本和一个负样本，模型给正样本打分更高的概率」。这两句话说的是同一个数。这篇用 8 个样本把两种算法各算一遍，看它们为什么相等。

数据

4 个正样本的分数是 0.9、0.7、0.6、0.4，4 个负样本的分数是 0.8、0.6、0.3、0.2。注意 0.6 这个分数正负样本各有一个，后面会用到。把这 8 个样本载入计算台，可以边拖阈值边对照。

把出现过的分数从高到低依次当作阈值，分数 ≥ 阈值的判为正类。每降一次阈值，就有一批样本从「判负」变成「判正」：正样本翻过来，TP 加一，曲线向上走 1/4；负样本翻过来，FP 加一，曲线向右走 1/4。

阈值	新翻为正的样本	TP	FP	TPR = TP/4	FPR = FP/4
（起点）	—	0	0	0	0
0.9	正 0.9	1	0	0.25	0
0.8	负 0.8	1	1	0.25	0.25
0.7	正 0.7	2	1	0.5	0.25
0.6	正 0.6、负 0.6	3	2	0.75	0.5
0.4	正 0.4	4	2	1	0.5
0.3	负 0.3	4	3	1	0.75
0.2	负 0.2	4	4	1	1

把这些点依次连起来就是 ROC 曲线：

8 个样本的 ROC 曲线，虚线是随机打分的参照。

曲线下面积按梯形法分段算：相邻两点之间的面积 = 横向宽度 × 两端高度的平均。竖直的段宽度为 0，没有面积，只剩四段：

从 → 到（FPR, TPR）	宽	平均高	面积
(0, 0.25) → (0.25, 0.25)	0.25	0.25	0.0625
(0.25, 0.5) → (0.5, 0.75)	0.25	0.625	0.15625
(0.5, 1) → (0.75, 1)	0.25	1	0.25
(0.75, 1) → (1, 1)	0.25	1	0.25

AUC = 0.0625 + 0.15625 + 0.25 + 0.25 = 0.71875

计算台算出来的是 0.7188，四舍五入到 4 位，一致。

4 个正样本和 4 个负样本一共能配成 4 × 4 = 16 对。对每一对，正样本分数更高就算排对（记 1），更低算排错（记 0），相等记 0.5：

正样本 \ 负样本	0.8	0.6	0.3	0.2	小计
0.9	1	1	1	1	4
0.7	0	1	1	1	3
0.6	0	0.5	1	1	2.5
0.4	0	0	1	1	2

排对的比例 = (4 + 3 + 2.5 + 2) / 16 = 11.5 / 16 = 0.71875

和面积完全相同。

把 ROC 所在的单位正方形横向切成 4 列（每列对应一个负样本），纵向切成 4 行（每行对应一个正样本），一共 16 个小格，每格面积 1/16，正好对应 16 对正负样本。

曲线每向右走一步，就是某个负样本 q 被翻成了正类；此时曲线的高度等于「分数比 q 高、已经先翻过来的正样本个数」除以 4。所以这一列在曲线下面的小格数，恰好是「分数比 q 高的正样本个数」——也就是和 q 配对时排对了的对数。把所有列加起来，曲线下的小格总数就是排对的总对数，面积就是排对的比例。

同分的情况：阈值降到 0.6 时，正样本 0.6 和负样本 0.6 同时翻过来，曲线从 (0.25, 0.5) 斜着走到 (0.5, 0.75)。这一列里，斜线把 (0.5 → 0.75) 那个小格对半切开，下面只算半格——正好对应「同分记 0.5」。

AUC 与阈值无关。它把所有阈值扫了一遍，只关心正负样本的相对排序。准确率、F1 这些都要先定一个阈值才能算。
分数的具体大小不重要，顺序才重要。把所有分数平方、取对数，只要顺序不变，AUC 一点不变。所以 AUC 高不代表模型给出的概率准，概率准不准要另看校准。
0.5 是随机水平。随机打分时，每一对排对和排错的机会一样多；AUC 低于 0.5 说明排序整体反了。
负样本很多时，AUC 可能显得乐观。每一对的权重相同，而绝大多数对是「正样本 vs 很容易排开的负样本」。这时同时看 PR 曲线和 AP 更能反映误报的情况。

本站测试里，两种算法在 300 组含大量同分的随机数据上逐一核对，差值都小于 10⁻¹²，见公式与约定。