公式与约定 · Definitions
公式与约定
本站是教学用的计算工具，评估指标没有法规条文或「官方原文」可以引用。公式采用通行的数学定义；定义没有规定、各家做法不一的地方（比如分母为 0），下面逐条写明本站怎么处理，并标为「本站约定」。
公式一览
二分类里 TP、FP、FN、TN 分别是真正例、假正例（误报）、假负例（漏报）、真负例。混淆矩阵的行是真实类别，列是预测类别。
| 指标 | 定义 | 含义 |
|---|---|---|
| 准确率 Accuracy | (TP + TN) / (TP + FP + FN + TN) | 全部样本中判对的比例 |
| 精确率 Precision | TP / (TP + FP) | 判为正的样本中真为正的比例 |
| 召回率 Recall（TPR） | TP / (TP + FN) | 真为正的样本中被判为正的比例 |
| 特异度 Specificity（TNR） | TN / (TN + FP) | 真为负的样本中被判为负的比例 |
| 假正率 FPR | FP / (FP + TN) = 1 − 特异度 | 真为负的样本中被误判为正的比例 |
| 阴性预测值 NPV | TN / (TN + FN) | 判为负的样本中真为负的比例 |
| F1 | 2TP / (2TP + FP + FN) = 2PR / (P + R) | 精确率 P 与召回率 R 的调和平均 |
| Fβ | (1 + β²)TP / ((1 + β²)TP + β²FN + FP) | β > 1 偏向召回率，β < 1 偏向精确率 |
| 平衡准确率 | (召回率 + 特异度) / 2 | 两类各自判对比例的平均 |
| MCC | (TP·TN − FP·FN) / √((TP+FP)(TP+FN)(TN+FP)(TN+FN)) | 预测与真实标签的相关系数，−1 到 1 |
| AUC | ROC 曲线下面积（梯形法） | 随机一对正负样本排对的概率，同分记 0.5 |
| AP | Σ (Rₖ − Rₖ₋₁) · Pₖ | PR 曲线的阶梯面积，不插值 |
| 宏平均 | (1/k) Σ 各类指标 | 每个类别同等权重 |
| 加权平均 | Σ 支持数ᵢ × 指标ᵢ / Σ 支持数 | 按真实样本数加权 |
| 微平均 | 先加总各类 TP、FP、FN 再算 | 单标签多分类时等于准确率 |
| MAE | Σ|yᵢ − ŷᵢ| / n | 平均绝对误差 |
| MSE | Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / n | 均方误差 |
| RMSE | √MSE | 均方根误差 |
| MAPE | (100% / m) Σ |(yᵢ − ŷᵢ) / yᵢ|（只算 yᵢ ≠ 0） | 平均绝对百分比误差 |
| R² | 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)² | 相对「一直猜平均值」的改进 |
本站约定
以下 12 条都是本站归纳的计算口径，不是任何标准或教材的原文。同一个数据在其他工具里得到不同结果时，先对照这里。
分母为 0 记为「无定义」本站约定
任何指标只要分母为 0（例如模型一个正类都没判出时的精确率、数据里没有负样本时的特异度），结果记为「无定义」，不自动换成 0 或 1。常见的机器学习库在这种情况下多数返回 0 并给出警告，所以你在别处看到的数字可能是 0，这里看到的是「无定义」，两者说的是同一件事。
F1 用计数形式计算本站约定
F1 按 2TP / (2TP + FP + FN) 计算，与「精确率和召回率的调和平均」在两者都有定义时完全相等；好处是精确率无定义（TP + FP = 0）而数据里有正样本时，F1 仍然能算出 0。只有 TP、FP、FN 全为 0 时 F1 才无定义。Fβ 同理。
MCC 分母为 0 时无定义本站约定
混淆矩阵只要有一整行或一整列为 0（例如模型全部判为正），MCC 的分母为 0，本站记为无定义，而不是 0。
分数大于或等于阈值判为正类本站约定
拖动阈值时，分数 ≥ 阈值的样本判为正类。分数恰好等于阈值的样本归入正类，这一点会影响分数有重复值时的混淆矩阵。
同分样本一起翻转本站约定
画 ROC 与 PR 曲线时，把所有不同的分数从高到低依次当作阈值；分数相同的样本在同一步一起从负类变成正类。因此同分的正负样本在 ROC 上表现为一段斜线，这段斜线下的面积恰好等于「同分算半对」。
AUC 用梯形法本站约定
AUC 把 ROC 曲线上相邻两点连成直线，求折线下面积（梯形法）。它与「随机抽一个正样本和一个负样本，正样本分数更高的概率（同分记 0.5）」在数学上相等，测试里两种算法逐一核对。没有正样本或没有负样本时 AUC 无定义。
AP 用阶梯求和，不插值本站约定
平均精确率 AP = Σ(Rₖ − Rₖ₋₁)·Pₖ，k 按阈值从高到低，R₀ = 0。PR 曲线按同样的阶梯画出。有些资料用「插值」的 AP（取右侧最大精确率），数值会偏高，本站不用。没有正样本时 AP 无定义。
多分类平均里无定义项按 0 计本站约定
宏平均与加权平均需要每个类别都有一个数。某一类的精确率或召回率无定义时，本站按 0 计入平均，并在结果下方写明是哪一类的哪一项。微平均把所有类别的 TP、FP、FN 先加总再算，单标签多分类时微平均精确率、召回率、F1 都等于准确率。
MAPE 跳过真实值为 0 的样本本站约定
相对误差要除以真实值，真实值为 0 时算不出。本站计算 MAPE 时跳过这些样本，并显示跳过了几个；如果全部被跳过，MAPE 无定义。真实值接近 0 时 MAPE 会被放得很大，这是这个指标本身的性质。
R² 在真实值全相同时无定义本站约定
R² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)²。真实值全部相同时分母为 0，本站记为无定义。R² 可以是负数，表示模型还不如一直猜真实值的平均数。
标签的写法本站约定
二分类的真实标签认 1 / 0，也认 正 / 负、是 / 否、true / false、yes / no，−1 视为负类。分数可以是概率，也可以是任意实数（例如模型的原始打分），只要越大越倾向正类。带 % 的分数会除以 100。第一行不像数据时当作表头跳过；以 # 开头的行视为注释。
显示精度本站约定
指标显示 4 位小数，代入式里的中间量最多保留 6 位小数。计算过程全程使用双精度浮点数，只在显示时四舍五入。
正确性怎么核对
没有官方原文可对照，正确性靠测试。页面、交互和测试共用同一份计算代码，每次改动计算代码都要重新通过以下检查：
- 手算样例：TP 15、FP 45、FN 5、TN 935 这组数（笔记里的例子）的准确率 0.95、精确率 0.25、召回率 0.75、F1 0.375、特异度 935/980、MCC 13800/√(60×20×980×940)，逐项与手算分数比对。
- 边界：全对、全错、全部判正、全部判负、没有正样本、没有负样本、样本数为 0，每种情况下哪些指标有值、哪些无定义，逐项断言。
- F1 与「精确率和召回率的调和平均」在 500 组随机混淆矩阵上相差小于 10⁻¹²；Fβ 在 β = 1 时等于 F1；平衡准确率等于召回率与特异度的平均。
- AUC：梯形法与「正负样本两两比较（同分记 0.5）」在 300 组随机数据（含大量同分）上相差小于 10⁻¹²；首页样例 AUC = 78/96。完美排序 AUC = 1，完全反序 AUC = 0。
- AP：用另写的逐样本参考实现核对；完美排序 AP = 1；所有分数相同时 AP 等于正类占比。
- 阈值：阈值取每一个不同分数时的混淆矩阵，与 ROC/PR 曲线上对应点的 TP、FP 完全一致；阈值高于所有分数时全部判负。
- 多分类：由标签对生成的混淆矩阵各行之和等于每类样本数；微平均三项都等于准确率；宏平均与加权平均与逐类手算一致；无定义项被列出并按 0 计入。
- 回归：MAE、MSE、RMSE、R² 与手算样例一致；预测全对时误差为 0、R² 为 1；一直预测平均数时 R² 为 0；MAPE 跳过真实值为 0 的样本并正确计数。
- 解析：表头、注释行、中文逗号、制表符、百分号、非法行的报错与行号，都有测试。
发现某个结果和你的手算不一致，欢迎留言，附上输入数据即可。
术语出处（延伸阅读，非依据）
- MCC 以 B. W. Matthews 命名，见其 1975 年发表于 Biochimica et Biophysica Acta 的论文（比较 T4 噬菌体溶菌酶二级结构的预测与观测）。
- ROC 分析在机器学习中的用法，可参考 T. Fawcett《An introduction to ROC analysis》，Pattern Recognition Letters，2006 年第 27 卷。
- F 值（F-measure）源自信息检索领域，常引 C. J. van Rijsbergen 1979 年的著作《Information Retrieval》。
以上只说明术语来源，本站的公式和约定以本页为准，更新于 2026-09-22。